matlab求解微分方程组例题（matlab中ode45函数的用法）

摘要：连续搅拌反应釜（CSTR）在生产过程中得到了广泛应用。因其在实际生产过程中会受到许多不利因素的影响,不易实现面向性能的控制。以连续搅拌反应釜为对象，采用常规PID控制，为了达到实时修改模型参数，动态显示控制曲线和变量数值的目的，设计了GUI人机界面，使得用户可以方便、实时地对CSTR控制系统进行监控。

0引言

连续搅拌反应釜(Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR)作为一类化学反应器,由于其成本低、热交换能力强和产品质量稳定等特点,成为生产聚合物的核心设备,在化工、发酵、生物制药、石油生产等工业生产过程中得到了广泛的应用［1］。其示意图如图1所示。

在连续搅拌反应釜系统中通过控制其内部的工艺参数（如温度、浓度等）的稳定，来保证反应的正常进行，其控制质量直接影响到生产的效益和质量指标。连续搅拌反应釜的对象是高度非线性的化学反应系统，一般用一组非线性常微分方程来描述该反应釜的数学模型［2］。本实验通过采用单回路控制系统，在回路中运用基于四阶五级RungeKutta的PID控制算法，通过整定PID参数实现对被控变量的控制。同时在控制系统中设置扰动，模拟现场控制中所遇到的干扰。为了能够实时监控工艺参数，本设计采用GUI人机界面，动态显示被控对象及状态变量的控制结果。

1CSTR模型

实验针对的化学反应是由环戊二烯（组分A）生成主产品环戊烯（组分B）和副产品二环戊二烯（组分D）以及由环戊烯继续反应生成的副产品环戊酮（组分C）。化学反应方程如下：

Ak1Bk2C,2Ak3D。基于能量守恒定律，该CSTR模型的理想动态特性可以由以下非线性微分方程组描述：

如上各参数中，CA为反应器中物质A的浓度，CB反应器中物质B的浓度，CA0为A的进料浓度，K1、K2、K3为3个化学反应的反应速率，V为物料A进料体积流量，VR为反应器体积，T为反应器温度，Tk为冷却剂温度，T0为反应器入口温度，ΔHRAB、ΔHRBC、ΔHRAD分别为K1、K2、K3反应放出的热量，ρ为反应器液体密度，Cρ为反应器液体热容，Kw为冷却套的传热系数，AR冷却套传热面积，Ei为第i个反应的反应激活能量。

该CSTR模型的常微分方程组由3个微分方程组成，即将CA、CB、T作为系统3个状态变量建立微分方程，取冷却剂温度Tk为控制系统的操作变量，反应器中物质浓度CA作为被控变量，反应器入口温度T0和浓度CA0、物料进料体积流量V是波动的，可以作为外部的扰动。各参数的值如表1所示。表1CSTR模型常微分方程组参数表变量名变量符号参数值单位物质A进料体积流量V14.19L/h反应器入口温度T079.7℃物料A进料初始浓度CA05.1mol/L反应放出的热量ΔHRAB-4.2KJ/mol反应放出的热量ΔHRBC11KJ/mol反应放出的热量ΔHRAD41.85KJ/mol反应器中液体的密度ρ0.934 2kg/L反应器液体热容Cρ3.01KJ/(kg·K)冷却套的传热系数kw4 032KJ/(h·m2·K)冷却套传热面积AR0.215m2反应器体积VR10L反应速率系数k101.287×1012h-1反应速率系数k201.287×1012h-1反应速率系数k309.043 2×109h-1反应的反应激活能量E1-9 758.3K反应的反应激活能量E2-9 758.3K反应的反应激活能量E3-8 560K

根据CSTR模型的微分方程，以反应器温度T、反应器中物质A的浓度CA、反应器中物质B的浓度CB三者为状态变量，以冷却剂Tk为控制变量，建立关于微分方程的M文件。

2CSTR过程仿真控制研究

2.1控制算法

本实验采用基于四阶五级RungeKutta的PID控制算法。四阶五级RungeKutta算法是一种求解微分方程近似解的数值方法，实际上是间接使用泰勒级数法的一种计算方法。该算法精度高，能对误差进行抑制。在区间［k,k+d］上用y(k)的值来估算或预测y(k+d)的值,得到预测值(k+d)，将此预测值作为反馈信号与期望设定值进行比较得出偏差，作为PID控制的输入，依照PID控制律来设定控制器的输出，完成对被控对象的控制。

MATLAB中的ode函数专门用于求解微分方程，而ode45表示采用四阶五级Runge-Kutta算法，它用四阶方法提供候选解，五阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，本实验M文件中就采用ode45求解微分方程。

首先确定仿真的采样时间、起止时间以及每一步模型仿真的时间区间，并为龙格库塔算法设定初始值。

然后初始化PID控制器，并设定PID参数和设定值。经过PID参数的调整，得到Kc=0.03;Ti=4;Td=0.05。

最后运用循环语句的形式编写基于四阶五级RungeKutta法的PID控制算法。

2.2添加扰动

为模拟真实现场控制系统环境，这里需要添加3个扰动：物质A进料流量（QIn）扰动，反应器入口温度扰动（To），物质A进料浓度扰动（Ca0）。

2.3控制结果

将初始值设为y0=［0;1;80.7］，在控制系统的作用下最终达到稳定，如图2所示。

上排从左至右分别表示反应器物质A浓度（被控变量），反应器物质B的浓度和反应器温度，即3个状态变量。下排从左至右分别表示冷却剂的温度（操纵变量）和控制误差（即控制器的输入）。可发现由于加了积分作用，控制系统的余差为0，并且控制效果较好。

3GUI界面的设计

为了能够实时改变控制系统模型的参数，在程序运行过程中添加扰动，并使被控对象及状态变量的控制结果动态显示，需要添加一个GUI界面来实现这些功能。

首先在命令窗口中键入guide，GUIDE实际上是一套MATLAB工具箱［3］。启动GUIDE后，会出现GUIDE Quick Start 对话框，选择新建一个GUI界面，这里选用GUI with Axes and Menu模板，点击OK后进入版面设计窗口。利用窗口左侧的工具箱可以选择需要添加的组件，用来输入扰动和采样时间，同时显示控制系统变量的数值和曲线。完成版面设计后，以CSTR_GUI文件名保存，此时设计内容会保存在两个文件中，一个是FIG文件，一个是M文件。GUI界面设计如图3所示。

然后打开M文件CSTR_GUI.M，对GUI进行编程。设置并启动0.2 s定时器，

另外，需要编写定时器中断响应函数TimerCallback，里面包含对界面扰动参数和采样时间的读取，同时实现对GUI人机界面中变量值的更新。

4CSTR模型控制结果

设定初始值：反应器中物质A的浓度CA=2.14 mol/L，反应器中B的浓度CB=1.05 mol/L，反应器温度T=80.7 ℃，即y0=［2.14;1.05;80.7］。

在无扰动的情况下，控制结果如图4。

此时PID参数为Kc=0.03，Ti=4 s，Td=0.05 s，从反应器中物料A浓度曲线来看，控制作用响应速度快，超调小，且没有稳态误差，控制效果较好。由于CSTR模型控制系统是完全用MATLAB进行仿真的，曲线平稳之后没有出现任何波动，这与实际现场控制状况不太相同。

在控制系统达到稳态之后，可以在GUI界面上对某一参加数上一扰动（例如增加5%的物质A进料流量扰动），观察控制系统的调节能力，如图5所示。

从图5可以看出在加入进料流量扰动后，反应器中A浓度曲线出现一定程度的波动，这一波动的大小受扰动值大小的影响，但物质A的浓度很快又恢复到设定值，说明控制系统有较强的调节能力。另外还能发现当进料流量增加5%后，反应器中物质B的浓度在重新达到稳态后并没有回到原值（从1.046 8 mol/L增加到1.047 8 mol/L），同时反应器的温度也有所增加，因此在通过改变进料流量改变物质B浓度的时候，需要注意反应器的温度，要避免触碰到反应器温度的上下限。

5结论

本文基于MATLAB建立CSTR对象模型，依据现实的生产环境以及各种干扰因素，通过整定PID参数完成对被控变量的控制，取得良好的控制效果。同时，为了达到实时修改模型参数、动态显示控制曲线和变量数值的目的，引入了GUI人机界面，使得用户可以方便、实时地对CSTR控制系统进行监控。此控制系统用于工业现场，对提升工作效率具有一定的实际意义。