决策树通常包括：

• 根节点-表示被进一步划分为同质组的样本或总体
• 拆分-将节点分为两个子节点的过程
• 决策节点-当一个子节点根据某个条件拆分为其他子节点时，称为决策节点
• 叶节点或终端节点-不进一步拆分的子节点
• 信息增益-要使用一个条件(比如说信息最丰富的特征)来分割节点，我们需要定义一个可以优化的目标函数。在决策树算法中，我们倾向于在每次分割时最大化信息增益。在测量信息增益时，通常使用三种度量。它们是基尼不纯度、熵和分类误差

数学理解

为了理解决策树是如何发展的，我们需要更深入地了解在每一步中如何使用度量使信息增益最大化。

让我们举一个例子，其中我们有包含学生信息的训练数据，如性别、年级、因变量或分类变量，这些变量可以识别学生是否是美食家。我们有以下概述的信息。

1. 学生总数-20人
2. 被归为美食家的学生总数-10
3. 不属于美食家的学生总数-10
4. P(美食家)，即学生成为美食家的概率=(10/20）=0.5
5. Q(非美食家），学生不是美食家的概率=(10/20）=0.5

让我们根据学生的性别将他们分成两个节点，并重新计算上述指标。

男学生(节点A）

1. 学生总数-10人
2. 被归为美食家的学生总数-8
3. 不属于美食家的学生总数-2
4. P(美食家)，学生成为美食家的概率=(8/10）=0.8
5. Q(非美食家），学生不是美食家的概率=(2/10）=0.2

女生(节点B）

1. 学生总数-10人
2. 被归为美食家的学生总数-4
3. 不属于美食家的学生总数-6
4. P(美食家)，学生成为美食家的概率=(4/10）=0.4
5. Q(非美食家），学生不成为美食家的概率=(6/10）=0.6

节点A的基尼指数 (GIn)=P²+Q²，其中P和Q是学生成为美食家和非美食家的概率。GIn(节点A）=0.8²+0.2²=0.68

节点A的基尼不纯度(GIp）=1-基尼指数=1–0.68=0.32

节点B或女生的基尼指数(GIn）=P²+Q²，其中P和Q是学生成为美食家和非美食家的概率。GIn(节点B）=0.4²+0.6²=0.52

节点B的基尼不纯度(GIp）=1-基尼指数=1–0.52=0.48

我们观察到的是，当我们将学生按性别(男性和女性)分别划分为A和B节点时，我们分别得到了两个节点的基尼不纯度。现在，为了确定性别是否是将学生分为美食家和非美食家的正确变量，我们需要一个加权基尼不纯度分数，该分数使用以下公式计算。

加权基尼不纯度=(A节点总样本数/数据集中总样本数)基尼不纯度(A节点)+(B节点总样本数/数据集中样本数)基尼不纯度(B节点)

用此公式计算上例的加权基尼不纯度分数，按性别划分学生时加权基尼不纯度分数=(10/20)0.32 + (10/20)0.48 = 0.4

一个分类问题涉及多个自变量。变量可以是名义变量，也可以是连续变量。决策树很适合处理不同数据类型的变量。

决策树算法在决定每个节点的拆分时考虑了所有可能的变量，可以获得最大加权不纯度增益的变量被用作特定节点的决策变量。

在上面的例子中，使用“性别”作为决策变量的加权不纯度增益是0.4，但是，假设使用“年级”作为决策变量，加权不纯度增益0.56，算法将使用“年级”作为创建第一个分割的决策变量。所有后续步骤都遵循类似的方法，直到每个节点都是同构的。

决策树算法简介

1. 决策树容易过度拟合，因为算法继续将节点分割为子节点，直到每个节点变得均匀
2. 与测试集相比，训练数据的精度要高得多，因此需要对决策树进行剪枝，以防止模型过度拟合。剪枝可以通过控制树的深度、每个节点的最大/最小样本数、要拆分的节点的最小不纯度增益和最大叶节点来实现
3. Python允许用户使用基尼不纯度或熵作为信息增益准则来开发决策树
4. 可以使用网格搜索或随机搜索CV对决策树进行微调。CV代表交叉验证

三种不同不纯度标准的比较

下面概述的代码片段提供了不同不纯度标准的直观比较，以及它们如何随不同的概率值而变化。注意下面的代码改编自Deeper Insights into Machine Learning by S.Raschka, D.Julian, and J.Hearty, 2016。

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

#-----计算基尼指数
def gini(p):
    return (p)*(1 - (p)) + (1 - p)*(1 - (1-p))

#-----计算熵
def entropy(p):
    return - p*np.log2(p) - (1 - p)*np.log2((1 - p))

#-----计算分类误差
def classification_error(p):
    return 1 - np.max([p, 1 - p])

#-----创建一个从0到1的概率值Numpy数组，增量为0.01
x = np.arange(0.0, 1.0, 0.01)

#---不同p值的熵
ent = [entropy(p) if p != 0 else None for p in x]

#----获得缩放后的熵
sc_ent = [e*0.5 if e else None for e in ent]

#--分类错误
err = [classification_error(i) for i in x]

#--绘图

fig = plt.figure();
plt.figure(figsize=(10,8));
ax = plt.subplot(111);

for i, lab, ls, c, in zip([ent, sc_ent, gini(x), err], ['Entropy', 'Entropy (scaled)','Gini Impurity',
                                                        'Misclassification Error'],['-', '-', '--', '-.'],
                          ['black', 'darkgray','blue', 'brown', 'cyan']):
    line = ax.plot(x, i, label=lab,
    linestyle=ls, lw=2, color=c)

ax.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5, 1.15), ncol=3, fancybox=True, shadow=False)
ax.axhline(y=0.5, linewidth=1, color='k', linestyle='--')
ax.axhline(y=1.0, linewidth=1, color='k', linestyle='--')
plt.ylim([0, 1.1])
plt.xlabel('p(i=1)')
plt.ylabel('Impurity Index')
plt.show()

练习

问题陈述旨在建立一个分类模型来预测红酒的质量。

这是一个典型的多类分类问题。注意，所有的机器学习模型都对异常值敏感，因此在构建树之前，应该处理由异常值组成的特征/独立变量。

不同特性/独立变量的一个重要方面是它们如何相互作用。皮尔逊相关可以用来确定数据集中两个特征之间的关联程度。然而，对于像决策树这样的基于决策的算法，我们不会丢弃高度相关的变量。

#导入所需的库-
%matplotlib inline

import numpy as np
import pandas as pd

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns

sns.set(color_codes=True)

from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split #分为训练集和测试集
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier #构建决策树模型

from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import accuracy_score,f1_score,recall_score,precision_score, confusion_matrix #模型验证
%matplotlib inline

from IPython.display import display #用于在一个输出中显示多个数据帧

from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer  #DT不接受字符串作为模型拟合步骤的输入

import missingno as msno_plot #缺失值绘图

wine_df = pd.read_csv('winequality-red.csv',sep=';')

数据的快速描述性统计

wine_df.describe().transpose().round(2)

检查缺失值

#非缺失值的条形图
plt.title('#Non-missing Values by Columns')
msno_plot.bar(wine_df);

异常值检查和处理

#检查异常值
plt.figure(figsize=(15,15))
pos = 1
for i in wine_df.columns:
    plt.subplot(3, 4, pos)
    sns.boxplot(wine_df[i])
    pos += 1

col_names=['fixed acidity', 'volatile acidity', 'citric acid', 'residual sugar',
       'chlorides', 'free sulfur dioxide', 'total sulfur dioxide', 'density',
       'pH', 'sulphates', 'alcohol']

display(col_names)

for i in col_names:
    q1, q2, q3 = wine_df[i].quantile([0.25,0.5,0.75])
    IQR = q3 - q1
    lower_cap=q1-1.5*IQR
    upper_cap=q3+1.5*IQR
    wine_df[i]=wine_df[i].apply(lambda x: upper_cap if x>(upper_cap) else (lower_cap if x<(lower_cap) else x))

上面的异常值使用Q1–1.5*IQR和Q3+1.5*IQR值进行提取。Q1、Q3和IQR分别代表第一四分位数、第三四分位数和四分位数间的范围。

sns.pairplot(wine_df);

理解不同变量之间的关系。注意。在决策树中，我们不需要删除高度相关的变量，因为节点只使用一个独立变量被划分为子节点，因此，即使两个或多个变量高度相关，产生最高信息增益的变量也将用于分析。

plt.figure(figsize=(10,8))
sns.heatmap(wine_df.corr(),
            annot=True,
            linewidths=.5,
            center=0,
            cbar=False,
            cmap="YlGnBu")
plt.show()

分类问题对类别不平衡很敏感。当一个类值所占比例较大时，就会出现类不平衡。类别平衡是通过将因变量“quality”属性的值组合而产生的。

plt.figure(figsize=(10,8))
sns.countplot(wine_df['quality']);

wine_df['quality'] = wine_df['quality'].replace(8,7)
wine_df['quality'] = wine_df['quality'].replace(3,5)
wine_df['quality'] = wine_df['quality'].replace(4,5)
wine_df['quality'].value_counts(normalize=True)

将数据分为训练集和测试集，以检查模型的准确性，并查找是否存在过拟合或欠拟合。

# 将数据分解为训练集和测试集

from sklearn.model_selection import train_test_split

X_train, X_test, y_train, y_test =train_test_split(wine_df.drop('quality',axis=1), wine_df['quality'], test_size=.3, random_state=22)
X_train.shape,X_test.shape

利用基尼准则建立了决策树模型。请注意，为了简单起见，我们将树剪枝到最大深度3。这将有助于我们将树可视化，并将其与我们在初始部分中讨论的概念联系起来。

clf_pruned = DecisionTreeClassifier(criterion = "gini", random_state = 100,
                               max_depth=3, min_samples_leaf=5)
clf_pruned.fit(X_train, y_train)

请注意，可以调整以下参数以改进模型输出(Scikit Learn，2019）。

1. criterion — 使用的度量，例如基尼不纯度
2. class_weight — None，代表所有类权重为1
3. max_depth — 3; 剪枝。当“None”表示节点将展开，直到所有叶子都是同构的
4. max_features — None; 在决定节点的分割时，要考虑所有的特征或自变量
5. max_leaf_nodes — None;
6. min_impurity_decrease — 0.0; 只有当分割确保不纯度的减少大于或等于零时，节点才被分割
7. min_impurity_split — None;
8. min_samples_leaf — 1;一个叶子存在所需的最小样本数
9. min_samples_split — 2; 如果min_samples_leaf =1，则表示右节点和左节点应该各有一个样本，即父节点或根节点应该至少有两个样本
10. splitter — ‘best’; 用于在每个节点选择分割的策略。最好确保在决定分割时考虑到所有的特征

from sklearn.tree import export_graphviz
from sklearn.externals.six import StringIO  
from IPython.display import Image  
import pydotplus
import graphviz

xvar = wine_df.drop('quality', axis=1)
feature_cols = xvar.columns

dot_data = StringIO()
export_graphviz(clf_pruned, out_file=dot_data,  
                filled=True, rounded=True,
                special_characters=True,feature_names = feature_cols,class_names=['0','1','2'])

from pydot import graph_from_dot_data
(graph, ) = graph_from_dot_data(dot_data.getvalue())
Image(graph.create_png())

preds_pruned = clf_pruned.predict(X_test)
preds_pruned_train = clf_pruned.predict(X_train)
print(accuracy_score(y_test,preds_pruned))
print(accuracy_score(y_train,preds_pruned_train))

模型对训练数据和测试数据的准确度得分分别为0.60和0.62。

特征重要性是指一类将分数分配给预测模型的输入特征的技术，该技术指示在进行预测时每个特征的相对重要性。

## 计算特征重要性

feat_importance = clf_pruned.tree_.compute_feature_importances(normalize=False)

feat_imp_dict = dict(zip(feature_cols, clf_pruned.feature_importances_))
feat_imp = pd.DataFrame.from_dict(feat_imp_dict, orient='index')
feat_imp.rename(columns = {0:'FeatureImportance'}, inplace = True)
feat_imp.sort_values(by=['FeatureImportance'], ascending=False).head()

DecisionTreeClassifier()提供诸如min_samples_leaf和max_depth等参数，以防止树过度拟合。

可以看成是如下场景，在这个场景中，我们明确定义树的深度和最大叶子数。然而，最大的挑战是如何确定一棵树应该包含的最佳深度和叶子。

在上面的例子中，我们使用max_depth=3，min_samples_leaf=5。这些数字只是用来观察树的行为的示例图。但是，如果在现实中，我们被要求研究这个模型并为模型参数找到一个最佳值，这是一个挑战，但并非不可能(决策树模型可以使用GridSearchCV算法进行微调)。

另一种方法是使用成本复杂性剪枝(CCP）。

成本复杂性剪枝为控制树的大小提供了另一种选择。在DecisionTreeClassifier中，这种剪枝技术是由代价复杂性参数ccp_alpha来参数化的。ccp_alpha值越大，剪枝的节点数就越多。

简单地说，成本复杂性是一个阈值。只有当模型的整体不纯度改善了一个大于该阈值的值时，该模型才会将一个节点进一步拆分为其子节点，否则将停止。

当CCP值较低时，即使不纯度减少不多，该模型也会将一个节点分割成子节点。随着树的深度增加，这一点很明显，也就是说，当我们沿着决策树往下走时，我们会发现分割对模型整体不纯度的变化没有太大贡献。然而，更高的分割保证了类的正确分类，即准确度更高。

当CCP值较低时，会创建更多的节点。节点越高，树的深度也越高。

下面的代码(Scikit Learn)说明了如何对alpha进行调整，以获得更高精度分数的模型。

path = model_gini.cost_complexity_pruning_path(X_train, y_train)
ccp_alphas, impurities = path.ccp_alphas, path.impurities

fig, ax = plt.subplots(figsize=(16,8));
ax.plot(ccp_alphas[:-1], impurities[:-1], marker='o', drawstyle="steps-post");
ax.set_xlabel("effective alpha");
ax.set_ylabel("total impurity of leaves");
ax.set_title("Total Impurity vs effective alpha for training set");

让我们了解随着alpha的变化深度和节点数的变化。

clfs = clfs[:-1]

ccp_alphas = ccp_alphas[:-1]

node_counts = [clf.tree_.node_count for clf in clfs]

depth = [clf.tree_.max_depth for clf in clfs]

fig, ax = plt.subplots(2, 1,figsize=(16,8))

ax[0].plot(ccp_alphas, node_counts, marker='o', drawstyle="steps-post")
ax[0].set_xlabel("alpha")
ax[0].set_ylabel("number of nodes")
ax[0].set_title("Number of nodes vs alpha")
ax[1].plot(ccp_alphas, depth, marker='o', drawstyle="steps-post")
ax[1].set_xlabel("alpha")
ax[1].set_ylabel("depth of tree")
ax[1].set_title("Depth vs alpha")
fig.tight_layout()

了解α增加时精度的变化。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(16,8)); #设置大小
train_scores = [clf.score(X_train, y_train) for clf in clfs]
test_scores = [clf.score(X_test, y_test) for clf in clfs]
ax.set_xlabel("alpha")
ax.set_ylabel("accuracy")
ax.set_title("Accuracy vs alpha for training and testing sets")
ax.plot(ccp_alphas, train_scores, marker='o', label="train",
        drawstyle="steps-post")
ax.plot(ccp_alphas, test_scores, marker='o', label="test",
        drawstyle="steps-post")
ax.legend()
plt.show()

i = np.arange(len(ccp_alphas))
ccp = pd.DataFrame({'Depth': pd.Series(depth,index=i),'Node' : pd.Series(node_counts, index=i),
                    'ccp' : pd.Series(ccp_alphas, index = i),'train_scores' : pd.Series(train_scores, index = i),
                   'test_scores' : pd.Series(test_scores, index = i)})
ccp.tail()
ccp[ccp['test_scores']==ccp['test_scores'].max()]

上面的代码提供了在测试数据中产生最高精度的成本计算剪枝值。