矩阵的条件数、矩阵特征值、特征向量的求解方法

矩阵的条件数：矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。条件数越接近1，矩阵性能越好，反之，矩阵的性能越差。

在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：

cond（a,1）：计算a的1—范数下的条件数。

cond（a）或cond（a,2）：计算a的2—范数下的条件数。

cond（a,inf）：计算A的∞–范数下的条件数。

例3：求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数。

解答：

>> for n=2:10

c(n)=cond(hilb(n));

end

>> format long

>> c’

ans =

1.0e+13 *

0

0.000000000001928

0.000000000052406

0.000000001551374

0.000000047660725

0.000001495105864

0.000047536735691

0.001525757556663

0.049315340455101

1.602502816811318

矩阵的特征值与特征向量：

矩阵特征值的定义：设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x，使得等式Ax=λx成立，则称x是对应特征值λ的特征向量。

函数调用格式有两种：

E=eig（A）：求矩阵A的全部特征值，构造向量E。

[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

例：

>> A=[1 1 0;1 0 5;1 10 2]

[X,D]=eig(A)

A =

1 1 0

1 0 5

1 10 2

X =

0.0722 0.9751 0.0886

0.5234 -0.0750 -0.6356

0.8490 -0.2089 0.7669

D =

8.2493 0 0

0 0.9231 0

0 0 -6.1723